Сколько правил нужно, чтобы описать игруРазрыв соотношений, шаг и лифт

Ролик: та же история за 7,5 минуты

Статья идёт по сюжету ролика, сцена за сценой, и подробнее его. Под схемами — ссылка на этот момент видео.

Статья: Two-generator presentations with a relation gap, arXiv 2610.23637, 16 октября 2026. Игра, шаг, лифт, игрок и бухгалтер — образы для объяснения; в статье это группа, образующие, наименьшее число соотношений и наименьшее число образующих модуля соотношений. Читать ролик для понимания статьи не нужно: всё, что в нём есть, пересказано ниже.

Вопрос: сколько правил у игры и двумя ли способами это считать

Математики описывают головоломки и симметрии как игры: есть ходы и есть правила. Правило говорит, какая цепочка ходов возвращает всё на место.

Возьмём кубик Рубика. Ходы — повороты граней. Из ходов складываются цепочки: повернул одну грань, потом другую, потом третью. Каждый ход можно отменить, повернув грань обратно. Всё множество таких цепочек математики называют группой, а небольшой набор ходов, из которых получаются все остальные, — образующими. Правило (математики говорят «соотношение») — это цепочка, которая ничего не меняет: например, четыре поворота одной грани подряд возвращают кубик в исходное положение.

Возникает вопрос: сколько правил нужно, чтобы описать игру целиком, то есть чтобы из этих правил следовало всё остальное, что в игре верно? Чем короче список, тем проще описание. Посчитать можно двумя способами.

Игрок идёт по карте, и порядок ходов важен; бухгалтер ведёт счётчик проходов, и порядок не важен.

Бухгалтеру хватает не больше записей, чем игроку правил: каждое правило игрока он просто записывает в книгу. Вопрос в обратном: бывает ли записей меньше, чем правил? Пятьдесят лет никто не знал. Этот вопрос называют разрывом соотношений: он возник в работе Карла Грюнберга 1976 года и вошёл в список задач Уолла 1979 года (задача B15). Особенно интересен случай одной записи: следует ли из неё, что у группы всего одно правило? ▶ 0:00

Статья и авторы: ответ на трёх страницах

Препринт от 16 октября 2026 года: четверо математиков из Лиона и Женевы, Оксфорда, Санкт-Петербурга и Бонна.

Результат в одной фразе: в игре с двумя ходами игроку нужны два правила, а бухгалтеру хватает одной записи. В статье это теорема A, и она доказана полностью и элементарно. Второй результат, следствие B, говорит о задаче Уолла D2. Он опирается на предпринт OpenAI от 6 октября 2026 года и условен. О нём ниже, в главе про практику. ▶ 0:26

Теорема A в формулах (при любых взаимно простых $p, q \ge 2$):

Общий случай: круг из pq точек, полукруг — p шагов, крюк — q шагов наверху; p и q не имеют общего делителя.

Читается так: «игра $G$ строится из двух ходов $x$ и $t$ и подчиняется двум правилам». Первое правило: ход $x$ повторить $pq$ раз — и всё на месте. Второе правило: ходы $x^{p}$ и $t\,x^{q}\,t^{-1}$ можно менять местами. Игра не описывается одним правилом ($d_F(R)=2$), но её модуль соотношений порождается одной записью ($d_{\mathbb{Z}G}(R^{ab})=1$).

Об участии ИИ авторы пишут прямо, в разделе «Declaration of AI usage»: ChatGPT («6 Astra», как напечатано) помогал находить группы из теоремы A, доказательство и первый черновик рукописи, Claude («Fable 5.1») привлекали при дальнейшей правке, а все рассуждения и текст авторы проверили и существенно переработали, и ответственность за итог несут они.

Игра: шаг, лифт и два правила

В игре есть фишка и круг из шести точек. Первый ход, шаг, двигает фишку по кругу на одну точку.

Шесть шагов — и фишка на месте. Это первое правило. Одним кругом игра не ограничена: из каждой точки круга свой лифт поднимает фишку на свой круг, этажом выше, а лифт вниз везёт обратно. Из кругов и лифтов складывается карта игры. Математики называют такую карту графом Кэли группы, и такой же граф лежит под кубиком Рубика и под кольцом с шариками: вершины — положения, рёбра — ходы.

Внизу круг этажа 0, цифры — точки. Синяя стрелка — шаг, зелёные — лифты на круги этажа 1. ▶ 0:48 и ▶ 1:01

На карте есть второе правило. Полкруга — три шага подряд. Крюк — подняться на лифте, сделать два шага наверху и спуститься. Спуск выводит на другой круг, не на тот, откуда стартовали. Правило говорит: полкруга, потом крюк — это то же самое, что крюк, потом полкруга. Эти два хода можно менять местами.

Два пути из старта приходят в одну точку. ▶ 1:16

Тот же текст математики записывают буквами. Шаг обозначают $x$, лифт — $t$, лифт вниз — $t^{-1}$. Цепочку ходов пишут подряд, как слово, а повтор — степенью: $x^3$ — три шага. Тогда полкруга — это $x^3$, а крюк — $t\,x^2\,t^{-1}$: подняться, два шага, спуститься. Правила получаются такими:

Единица здесь значит «ничего не сделали». Квадратные скобки — коммутатор: $[u,v]=u\,v\,u^{-1}v^{-1}$. Он равен единице ровно тогда, когда ходы $u$ и $v$ можно менять местами: сделал $u$, потом $v$, потом отменил $u$ и $v$ — вернулся в старт.

Коммутатор: u, v, обратный u, обратный v. Если ходы можно менять местами, вернёшься ровно в старт.

Вся игра целиком записывается одной строкой, копредставлением:

Запись игры: слева от черты ходы, справа правила.

Слева от черты — буквы ходов, справа — правила.

Почему игра именно такая

Каждая деталь нужна для ответа, и ни одной лишней нет. Три детали работают на двух героев ответа: две первые нужны игроку, третья нужна бухгалтеру.

Слева три детали игры, справа — кому каждая нужна. ▶ 1:38

Шесть шагов — и фишка на месте. Нужно игроку. В игре есть ход, который, повторённый несколько раз, возвращает на место. В математике такое называют кручением. Для теоремы Ньюмана (разберём в главе про друзей) это ключевое условие.

Полкруга и крюк меняются местами. Тоже нужно игроку. Ходы, которые можно менять местами, называются друзьями. У полкруга два друга: два шага по тому же кругу и крюк. Между собой они не дружат, и из этого следует, что одним правилом игру не описать.

Числа три и два. Нужны бухгалтеру. В полукруге три шага, в крюке два шага наверху, и у чисел 3 и 2 нет общего делителя. Благодаря этому две записи удаётся слить в одну.

В статье число шагов в полукруге и в крюке — любая пара взаимно простых чисел $p$ и $q$, не меньших двух. Ролик берёт самую маленькую: $p=3$, $q=2$. Тогда первое правило — $x^{pq}=x^{6}=1$, а второе говорит, что $x^{p}=x^{3}$ и крюк $t\,x^{q}\,t^{-1}=t\,x^{2}\,t^{-1}$ коммутируют.

Счёт игрока: два правила, и меньше нельзя

Игрок записывает правило как маршрут по карте, и порядок ходов в нём важен. Цель игрока — составить как можно более короткий список, из которого следуют все остальные правила игры.

Что значит «следует»? Если верно $x^{6}=1$, то верно и $x^{12}=1$: двенадцать шагов — это шесть шагов, а потом ещё шесть. Такое правило ничего не добавляет к списку, и игрок его вычёркивает. Тот же приём работает для любых следствий: пока правило получается из уже записанных, оно лишнее. После вычёркивания в списке остаются два правила: шесть шагов на месте и обмен полкруга с крюком.

Из четырёх кандидатов в список попадают два правила; остальные — следствия. ▶ 2:04

Почему нельзя оставить одно? Если у игры одно правило, то по теореме Ньюмана друзья любого хода дружат и между собой. Здесь друзья полкруга — два шага и крюк — между собой не дружат (глава «Друзья» ниже), значит, одного правила мало. Математики пишут это как $d_F(R)=2$: наименьшее число нормальных образующих группы правил равно двум.

Счёт бухгалтера: одна запись

Бухгалтер записывает каждое правило в книгу как петлю: маршрут, который вернулся в старт. Записи складываются в любом порядке и переносятся по карте.

Как устроена запись. Бухгалтер идёт по маршруту и ведёт счётчик: сколько раз он прошёл каждый отрезок карты вперёд (плюс один) и назад (минус один). Петля вокруг квадрата даёт по плюс одному на каждой стороне. Два маршрута, которые обходят один и тот же квадрат с разными стартами, оставляют одну и ту же запись: порядок и старт в ней не сохраняются. Поэтому записи можно складывать в любом порядке, как числа в бухгалтерской книге, а также переносить на любое место карты. Математики называют такую запись гомологией графа, а все записи вместе — модулем соотношений.

Две петли с разными стартами дают одну запись: счётчик проходов по отрезкам. ▶ 2:24

Записей у бухгалтера не больше, чем правил у игрока: каждое правило игрока он записывает как петлю. А меньше? Авторы составили одну хитрую запись $v$, смесь записей обоих правил. Из её копий (сдвигов по карте и сумм) запись второго правила получается сразу, а запись первого — за три действия. Значит, бухгалтеру хватает одной записи: все остальные записи получаются из $v$ сложением и переносом. Математики пишут это как $d_{\mathbb{Z}G}(R^{ab})=1$ и говорят, что модуль соотношений циклический.

Одна хитрая запись заменяет две. Получается потому, что у чисел 3 и 2 нет общего делителя. ▶ 2:46

Общий вид записи: $R^{ab}=R/[R,R]$ — все правила $R$ с «забытым порядком» (деление на коммутаторы), а коэффициенты берутся из $\mathbb{Z}G$ — это суммы ходов с целыми коэффициентами вида «столько-то раз вперёд, столько-то раз назад, и так в каждой точке карты».

Ответ: да, два счёта могут разойтись

Вопрос был: может ли быстрый счёт бухгалтера дать меньше правил, чем честный счёт игрока? Может.

Игрок: два правила. Бухгалтер: одна запись. ▶ 2:46

В игре «шаг и лифт» игроку нужны два правила, а бухгалтеру хватает одной записи. Так закрыт вопрос, которому пятьдесят лет. ▶ 2:55 Дальше два рассуждения: почему игроку мало одного правила и почему бухгалтеру хватает одной записи.

Почему игроку мало одного правила: друзья не дружат

Ход называют другом данного, если с ним можно меняться местами. У полкруга два друга.

Это два шага по тому же кругу и крюк. Между собой они не дружат: порядок этих двух ходов менять нельзя. В 1973 году Ньюман доказал теорему: если в игре одно правило и какой-то ход возвращает на место, как шаг после шести повторов, то друзья любого хода дружат и между собой. В статье это сказано строже: у каждого нетривиального элемента группы с одним соотношением и кручением централизатор (множество всех ходов, которые меняются с ним местами) циклический, то есть состоит из степеней одного хода. В этой игре друзья полкруга не дружат, значит, одним правилом её не описать.

Друзья полкруга дружат с ним, но не друг с другом. ▶ 2:55

Как это проверяют в статье: полкруга стягивают в точку, и от игры остаётся произведение циклической группы из трёх элементов и бесконечной циклической группы $C_3 * \mathbb{Z}$. Там по нормальной форме свободного произведения $x^{2}$ и крюк порядок менять нельзя; значит, в исходной игре они тоже не коммутируют.

Стянули полкруга в точку: остаётся треугольник и бесконечная прямая. Вместе они дают дерево, где два пути не встречаются.

Почему бухгалтеру хватает одной записи: три и два

У чисел три и два наибольший общий делитель равен единице, и это позволяет собрать из двух записей одну.

Единицу можно получить из трёх и двух: три минус два. Как монеты в 3 и 2 рубля: отдаёшь 3, получаешь сдачей 2 — на руках остался 1 рубль. Наибольший общий делитель чисел 3 и 2 равен единице, и поэтому

По тому же принципу авторы собирают из двух записей одну, из которой обратно получаются обе. ▶ 3:21

1 = 3 − 2: поэтому две записи слепляются в одну. ▶ 3:27

Выкладки для $p=3$, $q=2$ — школьная алгебра. Обозначения из статьи, сначала словами:

Дальше — формулы (3) и (4) статьи. Свойства сумм:

Формулы (3): сумма «стоять или повернуть на полкруга» даёт кругу вес два; применённая к записи второго правила — круг минус его сдвиг.

Хитрая запись — смесь двух:

Формула (4): хитрая запись — круг плюс две копии записи второго правила, сдвинутые крюком.

Умножаем её на $N_a$ и $N_b$:

Умножение хитрой записи на суммы.

Так как $b^{3}=1$, после упрощения выходит:

После упрощения: круг с весом два и круг плюс два поднятых круга.

Умножаем первое равенство на $(a-1)\,t$ и вычитаем из второго. Получается запись первого правила через $v$:

Итог: из v получаются обе записи, значит, одной записи хватает.

Запись второго правила $u$ тоже выражается через $v$ из равенства $v=N_x+(b+b^2)u$. Значит, весь модуль соотношений порождён одним элементом $v$. Эти равенства проверены вручную при подготовке ролика.

Главное

Вопрос был: может ли быстрый счёт бухгалтера дать меньше правил, чем честный счёт игрока? Может, и пример — игра с двумя ходами.

Путь рассуждения: игра, игрок с двумя правилами, бухгалтер с одной записью, разрыв «два против одного».

Формально: тот же путь языком статьи

Вторая часть ролика: те же шаги формулами и со словарём математиков. Сначала карта соответствий, потом таблица с формулами, потом схема доказательства.

Слева слова ролика, справа их запись в статье. ▶ 4:12

Доказательство теоремы A в статье занимает полторы страницы. Шаги:

1. 1
   Не одно правило

   Группа не из одного правила: полукруг $a=x^{p}$ имеет порядок $q$, а $x^{q}$ и крюк $b$ оба его централизуют, но не коммутируют друг с другом. Значит, $d_F(R)=2$ (теорема Ньюмана).
2. 2
   Две записи

   Модуль соотношений — образ граничного отображения накрывающего комплекса. Матрица Фокса даёт две записи: $N_x$ и $u$.
3. 3
   Одна запись

   Для $p=3$, $q=2$ строится $v=N_x+(b+b^{2}),u$, и $N_x$, $u$ выражаются через $v$ (выкладки выше). Общий случай аналогичен, но с более громоздкой формулой для $v$.

Группу можно задать в системе компьютерной алгебры GAP двумя строками: ▶ 6:29

F := FreeGroup("x", "t");;  x := F.1;;  t := F.2;;
G := F / [ x^6, Comm(x^3, t*x^2*t^-1) ];;

Свободная группа на x и t, делённая на два соотношения. Дальше с группой можно работать как с обычным объектом.

Где это встречается

Прямые применения у результата пока в самой математике; остальное — аналогии с тем же уроком: быстрая оценка сложности может оказаться ниже настоящей.

Прямо: системы компьютерной алгебры; условно: топология; по аналогии: кубик, данные, спецификации.

Кто и когда, что доказано

1. 1
   1965

   Уолл ставит вопрос о комплексах D2 (задача D2)
2. 2
   1973

   Ньюман: теорема о централизаторах в группах с одним соотношением
3. 3
   1976

   Грюнберг: вопрос о разрыве соотношений
4. 4
   1979

   Задача B15 в списке Уолла
5. 5
   6.10.2026

   Предпринт OpenAI о контрпримере к задаче Уолла D2
6. 6
   16.10.2026

   Статья: четыре автора, теорема A доказана полностью

Теорема A: для взаимно простых $p,q\ge 2$ группа $\langle x,t\mid x^{pq},\,[x^{p},\,t\,x^{q}\,t^{-1}]\rangle$ не группа с одним соотношением, но её модуль соотношений циклический; значит, $d_F(R)=2$ и $d_{\mathbb{Z}G}(R^{ab})=1$. Следствие B опирается на результат OpenAI, и сами авторы называют его условным. Пример минимален: шесть клеток, меньше у контрпримера к задаче Уолла быть не может. ▶ 7:00

Частые вопросы